约瑟夫—— 数学与历史共同构筑的益智游戏经典 一、 约瑟夫问题 约瑟夫问题是一道经典的排队游戏问题，起源与古代历史中对于数学问题的探索与思考密切相关。
问题描述如下：有n个人坐成一个圆环形，从第一个人开始顺时针数到第m个人，将此人移除，从下一个人开始重复此过程，直到只剩下一个人。
问最终剩下的那个人的编号是多少？ 二、 策略与解法 对于此问题，可以推断出一个显然的结论：最后能留下来的人的编号是“(n-1)%(m+1)”。
如何证明这个结论呢？可以上网搜索到很多版本的证明过程，其中较为常见的是递推式的推导与直接数学公式的推导两种方法。
1. 递推式法 递推式法是通过自下而上的方式，依次计算各个状态下的剩余人数，最终得出最后幸存者的编号。
设n个人坐成的圆环形队列的结果为f(n,m)，则有以下递推式可得： f(1,m)=0 f(n,m)=[f(n-1,m)+m]%n (n>1) 其中，当只有1个人时，该人即为最后幸存者，编号为0当有n个人时，数到第m个人后，将该人移除后，剩余n-1个人又形成了一个圆环。
根据递归的思想，我们可以将问题拆解为n-1个人的情况，并在其中找到与n个人的情况之间的关系。
最后，针对这个递推式，我们可以直接进行计算，得到最终答案。
2. 直接公式法 直接公式法是通过推导数学公式的方式，解决此问题。
首先令f(n,m)表示删除过程中最后幸存者的编号。
由于每次删除一个人之后，下一个人的序号会相应向前移动m个位置，进而影响到圆环队列内后续人员的编号，我们可以将其转化为相对于当前最后那个人的序号进行计算：f(n,m)是在f(n?1,m)长度为n?1个人的序列上，从第m位置开始计数后剩下的人的编号。
我们再令k=f(n?1,m)，表示了长度为n?1的固定起点编号序列中，最终幸存者的编号，则有以下两种情况： k%m的值为r（k能够被m整除）：此时，删除第m个人会导致下一次要在该点计数，于是新的起点位置从2开始， 长度从n-1变为n-2。
剩余的k-1个人的序号为（m+1），(m+2)，...，(n-1)，0, 1，……,（r-1），（r+1），...，（n-2）. k%m的值不为r此时，删除第m个人后k-1个人中的每个人作为新的序列的第一位。
甚至可以推导出，相邻两次删除之间的编号相差了m。
于是，对于长度为n的序列，其胜利者可以表示为： f(n,m)=(f(n?1, m)+m)%n 其中省略了第二个等于号右边的一大堆式子。
三、举例与应用 约瑟夫问题有很多变种，比如往圆环中插入新元素、更改数数的方向等。
此外，它也被广泛地用于算法设计与复杂度优化的模型中，如双向链表实现、递归与非递归算法实现等等。
总之，约瑟夫问题是数学与历史共同构筑的益智游戏经典，以其独特的思维特点与数学技巧，激发了无数读者的数学热情与好奇心。
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